प्रगति ज्यामितीय। निर्णय उदाहरणका

एक पङ्क्ति विचार गर्नुहोस्।

7 28 112 448 1792 ...

एकदम स्पष्ट देखाउँछ कि थप अघिल्लो ठ्याक्कै चार पटक भन्दा यसको तत्व कुनै पनि को मूल्य। त्यसैले, यो श्रृंखला एक प्रगति छ।

geometrical प्रगति संख्या को अनन्त अनुक्रम भनिन्छ, मुख्य विशेषता जो निम्न नम्बर केही निश्चित संख्या द्वारा गुणन गर्दाको द्वारा माथिको प्राप्त छ भन्ने छ। यो निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त गरिएको छ।

_{एक Z +1 एक Z · Q =} , जहाँ Z - चयन तत्व को संख्या।

तदनुसार, Z ∈ एन

9th ग्रेड - स्कूल प्रगति ज्यामितीय अध्ययन गर्दा एक समय। उदाहरण अवधारणा बुझ्न मदत गर्नेछ:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 फेब्रुअरी 6 ...

यो सूत्र आधारित डिनोमिनेटर को प्रगति निम्नानुसार पाउन सकिन्छ:

न त Q, वा ख _Z शून्य हुन सक्दैन। साथै, को तत्व को प्रत्येक संख्या एक श्रृंखला प्रगति शून्य हुनु हुँदैन।

तदनुसार, एक नम्बर को अर्को नम्बर हेर्न Q द्वारा उत्तरार्द्ध गुणन।

यो प्रगति परिभाषित गर्न, तपाईं यसलाई र डिनोमिनेटर पहिलो तत्व निर्दिष्ट गर्नुपर्छ। कि पछि यो निम्न सदस्यहरु र आफ्नो रकम कुनै पनि फेला पार्न सम्भव छ।

प्रजाति

को Q र ₁ मा निर्भर _{हुन्छ,} यो प्रगति धेरै प्रकार मा विभाजित छ:

• _{1 भने,} र Q एक भन्दा बढी त एक अनुक्रम छ, - प्रगति ज्यामितीय प्रत्येक क्रमिक तत्व संग वृद्धि। उदाहरण तत्संबंधी तल विस्तृत छन्।

उदाहरण: ₁ = 3, Q = 2 - एकता भन्दा ठूलो, दुवै मापदण्डहरू।

त्यसपछि संख्या एक अनुक्रम लेखिएको सकिन्छ:

3 6 12 24 48 ...

• यदि | Q | एक, अर्थात् भन्दा कम, यो विभाजन गरेर गुणन बराबर छ, यस्तै अवस्था संग प्रगति - प्रगति ज्यामितीय घट्दै। उदाहरण तत्संबंधी तल विस्तृत छन्।

उदाहरण: ₁ = 6, Q = 1/3 - ₁ एक भन्दा बढी छ, Q - कम।

निम्नानुसार त्यसपछि संख्या एक अनुक्रम लिखित सकिन्छ:

जुन 2 2/3 ... - यो निम्न कुनै पनि तत्व अधिक तत्व छ 3 पटक।

• एकान्तरण। यदि Q <0, ₁ को निरन्तर बिना अनुक्रम एकान्तरण को संख्या को _{संकेत,} र कुनै पनि वृद्धि वा कमी को तत्व।

उदाहरण: ₁ = -3, Q = -2 - दुवै शून्य भन्दा कम छन्।

त्यसपछि संख्या एक अनुक्रम लेखिएको सकिन्छ:

3, 6, -12, 24, ...

सूत्र

सुविधाजनक प्रयोगको लागि, त्यहाँ सूत्रहरू धेरै ज्यामितीय प्रगतियाँ हो:

• सूत्र Z-औं अवधि। यो अघिल्लो संख्या गणना बिना विशिष्ट नम्बर मा तत्व को गणना गर्न अनुमति दिन्छ।

उदाहरण: Q = 3, एक = ₁ 4 चौथो तत्व प्रगति गणना गर्न आवश्यक छ।

समाधान: एक = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108।

• जसको नम्बर पहिलो तत्व योगफल, बराबर छ Z। यो एक _Z समावेशी गर्न अनुक्रम सबै तत्व योगफल को गणना गर्न अनुमति दिन्छ।

≠ 0, यसरी, Q छैन 1 छ - भएकोले (थ 1) (1- Q), डिनोमिनेटर छ त।

नोट: Q = 1, त्यसपछि प्रगति endlessly संख्या दोहर्याउँदै एक नम्बर प्रतिनिधित्व गरेका छन् भने।

रकम exponentially उदाहरण: ₁ = 2, Q = -2। एस ₅ को _{गणना।}

समाधान: एस ₅ = 22 - गणना सूत्र।

• रकम भने | Q | <1 Z अनन्त गर्न tends र कहिले।

उदाहरण: ₁ = _2, Q = 0.5। योगफल पाउन।

समाधान: एस _Z = 2 X = 4

हामी मार्गदर्शन धेरै सदस्य योगफल गणना भने, तपाईं यसलाई साँच्चै चार प्रतिबद्ध छ कि हेर्न हुनेछ।

एस _Z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

केही गुण:

• एक विशेषता सम्पत्ति। निम्न अवस्थामा भने यसलाई कुनै पनि Z लागि, त्यसपछि एक संख्यात्मक श्रृंखला दिइएको धारण - प्रगति ज्यामितीय:

एक _Z ² = एक _{Z -1} · एक _{Z + 1}

• यसलाई कुनै पनि नम्बर को वर्ग तिनीहरूले तत्व देखि equidistant हो भने, कुनै पनि पंक्ति मा अन्य दुई नम्बर को वर्गहरूको वाहेक हालतमा exponentially पनि छ।

² _Z = एक _{Z - टी} ² ₊ एक _Z + _T ² जहाँ टी - यी संख्या बीच दूरी।

• तत्व Q पटक द्वारा फरक।
• प्रगति को तत्व को logarithms साथै तिनीहरूलाई अघिल्लो एक भन्दा बढी प्रत्येक एक निश्चित संख्या द्वारा, छ, एक प्रगति, तर गणित गठन।

केही शास्त्रीय समस्या को उदाहरण

राम्ररी प्रगति ज्यामितीय, ग्रेड 9 को लागि निर्णय उदाहरण मद्दत गर्न सक्नुहुन्छ कुरा बुझ्न।

• नियम र सर्तहरू: ₁ = 3, ₃ = 48. फेला Q।

समाधान: अघिल्लो Q भन्दा बढी प्रत्येक क्रमिक तत्व समय। यो डिनोमिनेटर मार्फत अन्य माध्यम केही तत्व व्यक्त गर्न आवश्यक छ।

फलस्वरूप, ₃ = Q ² · ₁

स्थानापन्न गर्दा Q = 4

• अवस्था: एक ₂ = 6, एक = ₃ 12 परिकलित एस _6।

समाधान: यो गर्न, यो सूत्र मा Q, पहिलो तत्व र विकल्प खोज्न suffices।

₃ = Q · _2, फलस्वरूप, Q = 2

₂ = Q · एक _1, त्यसैले एक = ₁ 3

एस = ₆ 189

• · एक ₁ = 10, Q = -2। प्रगति को चौथो तत्व पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान: यो पहिलो माध्यम र डिनोमिनेटर मार्फत चौथो तत्व व्यक्त गर्न पर्याप्त छ।

₄ ³ = Q · एक = ₁ -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक ग्राहक जो अन्तर्गत प्रत्येक वर्ष प्रमुख रकम ग्राहक यो 6% हुनत थपिनेछ 10,000 rubles योगफल, योगदान गरेको छ। कति पैसा 4 वर्ष पछि खाता छ?

समाधान: 10 हजार rubles बराबर प्रारम्भिक राशि। त्यसैले, खाता मा निवेश पछि एक वर्ष 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06 बराबर राशि हुनेछ

तदनुसार, एक वर्ष रूपमा व्यक्त गरिने पनि पछि खातामा रकम निम्नानुसार:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

कि, रकम 1.06 पटक वृद्धि प्रत्येक वर्ष छ। यसैले, 4 वर्ष पछि खाता संख्या पत्ता लगाउन, यो चौथो तत्व प्रगति, 10 हजार बराबर पहिलो तत्व दिइएको छ जो, र 1.06 बराबर डिनोमिनेटर पाउन suffices।

एस = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

को योगफल को गणना मा समस्या को उदाहरण:

विभिन्न समस्याहरू मा प्रगति ज्यामितीय प्रयोग गरेर। निम्नानुसार योगफल फेला एक उदाहरण हुन सक्छ:

₁ = 4, Q = 2, एस ₅ को _{गणना।}

समाधान: गणना लागि सबै आवश्यक डाटा जानिन्छ, बस सूत्र तिनीहरूलाई विकल्प।

एस ₅ = 124

• ₂ = 6, एक = ₃ 18 परिकलित पहिलो छ तत्व योगफल।

समाधान:

को Geom। अघिल्लो Q पटक भन्दा अर्को ठूलो प्रत्येक तत्व को प्रगति, कि छ, रकम गणना गर्न तत्व ₁ र डिनोमिनेटर Q जान्नु आवश्यक छ।

₂ · Q = ₃

Q = 3

त्यस्तै, एक _{1, 2} र जानने Q फेला पार्न आवश्यक छैन।

₁ · Q ₂ =

₁ = 2

र त्यसपछि यो सूत्र रकम मा ज्ञात डाटा विकल्प गर्न suffices।

एस ₆ = 728।