रैखिक र समृद्ध प्रथम-अर्डर अंतर समीकरण। नमूना समाधान

मलाई लाग््छ कि हामी यस्तो महिमित गणितीय उपकरण को इतिहास को साथ अंतर समीकरण को रूप मा शुरू गर्नु पर्छ। सबै विभेद र अभिन्न गणना को लागी, 17 औं शताब्दी को अन्त मा न्यूटन द्वारा यो समीकरण आविष्कार गरियो। उनले यो अत्यन्तै अन्वेषणलाई धेरै महत्त्वपूर्ण हुन भनेर सोचेका थिए कि उनले सन्देश पनि एन्क्रिप्टेड गरे, जुन आज यस्तो अनुवाद गर्न सकिन्छ: "प्रकृतिका सबै नियमहरू समीकरण समीकरणमा वर्णन गरिएको छ।" यो अतिमूल्य लाग्न सक्छ, तर यो सत्य हो। भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान को कुनै पनि कानून यी समीकरणहरु द्वारा व्याख्या गर्न सकिन्छ।

अंतर समीकरण को सिद्धान्त को विकास र निर्माण मा एक ठूलो योगदान गणितज्ञों द्वारा Euler र Lagrange। पहिले नै 18 औं शताब्दीमा, तिनीहरूले पत्ता लगाएका र विकसित क्या अब विश्वविद्यालय विश्वविद्यालयको पाठ्यक्रममा अध्ययन गरिन्।

विभेद समीकरणको अध्ययनमा एक नयाँ मील का पत्थर हेनरी पेइनकेयरसँग सुरु भयो। उनले एक "समीकरण समीकरण को गुणात्मक सिद्धान्त" बनाए, जो एक जटिल चर को कार्यहरु संग संयोजन मा टोपोलोजी को आधार मा एक महत्वपूर्ण योगदान बनायो - अन्तरिक्ष को स्थान र यसको गुण।

भिन्नता समीकरणहरू के हो?

धेरै मानिसहरू एक वाक्यांश "अंतर समीकरण" बाट डराउँछन् । यद्यपि, यस लेखमा, हामी यो धेरै उपयोगी गणितीय उपकरण को सम्पूर्ण सार को विस्तार गर्नेछ, जो वास्तव मा जटिल को रूप मा नहीं जस्तो कि जस्तो कि यो शीर्षक देखि देखिन्छ। पहिलो आदेश को अंतर समीकरण बारेमा बताउन को लागी, तपाइँ पहिले यो परिभाषा संग सम्बन्धित मूलभूत अवधारणाहरु संग परिचित हुनु पर्छ। र हामी अंतर संग शुरू हुनेछ।

भिन्न

धेरै व्यक्तिले स्कूलबाट यो अवधारणालाई चिन्ता गर्छन्। तथापि, हामी थप विवरणमा यसमा बास गर्नेछौं। प्रकार्य ग्राफ कल्पना गर्नुहोस्। हामी यसलाई यति बढाउन सक्छ कि यसको कुनै पनि सीधा सीधा रेखाको रूप लिनेछ। यसमा हामी दुई बिन्दुहरू लिन्छौं जुन एकअर्काको असीमित नजिक हुन्छ। तिनीहरूको समकक्ष (x वा y) मा भिन्नता एक अनंतपूर्ण छ। यसलाई अंतर भनिन्छ र चिन्हहरू डी (अंतरको अंतर) र dx (x को अंतर) द्वारा प्रमाणित गरिएको छ। यो बुझ्न धेरै महत्त्वपूर्ण छ कि अंतर विभेदित मात्रा होइन, र यो यसको अर्थ र आधारभूत प्रकार्य हो।

अनि अब हामी निम्न तत्वलाई विचार गर्न आवश्यक छ, जुन हामीले समीकरण समीकरणको अवधारणाको व्याख्या गर्न आवश्यक छ। यो व्युत्पन्न हो।

व्युत्पन्न

हामीले सबैले स्कूल र यो अवधारणामा सुनेका छौं। यो भनिएको छ कि व्युत्पन्न को वृद्धि को वृद्धि या कार्य को कमी हो। यद्यपि, यो धेरै परिभाषा असम्भव हुन सक्छ। चल्ती को माध्यम ले व्युत्पन्न को व्याख्या को कोशिश गरौं। दुई बिन्दुहरूको साथमा अनन्तोपचारिक टुक्रा प्रकार्यमा फर्केर आउनुहोस् जुन एक-अर्का भन्दा कम दूरीमा हुन्छ। तर यो दूरीको लागि पनि प्रकार्यले केहि हदसम्म परिवर्तन गर्न समय छ। र यो परिवर्तनको वर्णन गर्न र डेरिभेटिभको साथ आउँदछ जुन अन्यथा भिन्नताको अनुपातको रुपमा लिखित हुन सक्छ: f (x) '= df / dx।

अब हामी व्युत्पन्न को आधारभूत गुणहरू विचार गर्न आवश्यक छ। तिनीहरूमध्ये तीन मात्र छन्:

1. योग वा व्युत्पन्नको व्युत्पन्न को डेरिभेटिभहरूको योग वा फरकको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ: (a + b) '= a' + b 'र (ab)' = a'-b '।
2. दोस्रो गुणगुणतासँग सम्बन्धित छ। उत्पादन व्युत्पन्न अर्को को व्युत्पन्न मा एक प्रकार्य को उत्पादनहरु को योग हो: (a * b) '= a' * b + a * b '।
3. अंतर को व्युत्पन्न निम्नलिखित समीकरण को रूप मा लेख्न सकिन्छ: (a / b) '= (' 'ba * b') / b ² ।

यी सबै गुणहरू पहिलो-अर्डर विभेद समीकरणहरूको समाधान फेला पार्न उपयोगी छन्।

त्यहाँ आंशिक व्युत्पन्न पनि छन्। मानौं हामीसँग प्रकार्य जे छ जुन चर र एक्स मा निर्भर गर्दछ। यस प्रकार्यको आंशिक व्युत्पन्न गणना गर्नको लागि, x को सन्दर्भमा भन्नुहोस्, हामी चर वाई र निरन्तर रूपमा मात्र सजिलैसँग फरक पर्दछ।

अनन्त

अर्को महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न हो। वास्तवमा यो व्युत्पन्नको प्रत्यक्ष विपरीत हो। अभिन्न धेरै प्रकारका छन्, तर सरल विभेद समीकरण को सुलझाने को लागि हामीलाई सबै भन्दा सानो अनिश्चित अनिवार्य तत्व चाहिन्छ ।

त्यसोभए, के एक अभिन्न छ? मानौं हामीसँग x मा f को निश्चित निर्भरता छ। हामी यसलाई बाट अभिन्न लिन्छ र प्रकार्य F (x) (प्रायः एन्टाइडरिटिव भनिन्छ) प्राप्त गर्दछ, व्युत्पन्न मूल प्रकार्यको बराबर छ। यसरी, F (x) '= f (x)। यो पनि निम्नानुसार छ कि व्युत्पन्न को अभिन्न मूल मूल प्रकार्य को बराबर छ।

जब अंतर समीकरण को सुलझाएर, यो अभिन्न को अर्थ र प्रकार्य बुझ्न धेरै महत्त्वपूर्ण छ, किनकि यो एक समाधान खोज्न को लागी धेरै आवश्यक छ।

तिनीहरूको प्रकृतिको आधारमा समीकरण फरक हुन्छ। अर्को खण्डमा, हामी पहिलो-अर्डर विभेद समीकरणको प्रकारलाई विचार गर्नेछौं, र त्यसपछि तिनीहरूलाई कसरी समाधान गर्न सिक्नुहोस्।

वर्गको अंतर समीकरण

"विलुसहरू" विभाजित गरिएका डेरिभेटिभहरूको क्रम अनुसार विभाजित हुन्छन्। यसरी त्यहाँ पहिलो, दोस्रो, तेस्रो वा थप अर्डर छ। तिनीहरू पनि धेरै कक्षाहरूमा विभाजित गर्न सकिन्छ: सामान्य र आंशिक डेरिभेटिभहरूमा।

यस पेपरमा हामी पहिलो-अर्डर सामान्य अंतर समीकरणमा विचार गर्दछौं। तिनीहरूलाई सुल्झाउने उदाहरणहरू र तरिकाहरू निम्न भागहरूमा छलफल गरिनेछ। हामी केवल ओडी विचार गर्नेछौं, किनभने यी समीकरणको सबैभन्दा सामान्य प्रकार हो। सामान्य उपसभापतिहरुमा विभाजित छ: चर, समतुल्य र विषमरी संग। अर्को, तपाइँ सिक्न सक्नुहुन्छ कि तिनीहरू एकअर्काबाट कसरी फरक हुन्छन्, र तिनीहरूलाई कसरी समाधान गर्न सिक्नुहोस्।

यसको अतिरिक्त, यी समीकरणहरु संयुक्त हुन सक्छ ताकि हाम्रो पास प्रथम क्रम को अंतर समीकरण को तंत्र हो। हामी पनि त्यस्ता प्रणालीहरू विचार गर्नेछौं र कसरी समाधान गर्न सिक्छौं।

हामी किन पहिलो आदेश मात्र विचार गरौं? किनकि तपाइँ सरल एक साथ सुरु गर्न आवश्यक छ, र एक लेख मा अंतर समीकरण संग सम्बन्धित सबको वर्णन गर्न असम्भव छ।

विभाजित चर संग समीकरण

यो हो, शायद, सरल पहिलो-अर्डर अंतर समीकरणहरू। यसमा उदाहरणहरू समावेश गर्न सकिन्छ जुन: y '= f (x) * f (y)। यो समीकरण को हल गर्न को लागी हामी सूत्र को प्रतिनिधित्व को सूत्र को आवश्यकता को रूप मा भिन्नता को अनुपात को रूप मा छ: y '= dy / dx। यसको सहयोगको साथ हामी निम्न समीकरण प्राप्त गर्दछौं: d / dx = f (x) * f (y)। अब हामी मानक उदाहरणहरू सुल्झाउने तरिकामा परिवर्तन गर्न सक्छौं: हामी भागहरू द्वारा चरहरू विभाजित गर्दछौं, जुन हामी सबै वाई वाईबाट अवस्थित भागमा स्थानान्तरण गर्दछौं, र हामी यो चर एक्स सँग पनि गर्छौं। हामी फारम dy / f (y) = f (x) dx को समीकरण प्राप्त गर्दछ, जुन दुवै पक्षबाट अभिवृद्धि लिन हल गरिएको छ। अभिन्नको पछि सेट गर्नु पर्छ निरन्तर बारेमा नबिर्सनुहोस्।

कुनै "विसारक" को समाधान y मा निर्भरता को एक समारोह हो (y मा हाम्रो अवस्थामा) वा, यदि एक संख्यात्मक अवस्था छ भने जवाफ संख्या को रूप मा छ। ठोस उदाहरणको बारेमा विश्लेषण गरौं समाधानको सम्पूर्ण पाठ्यक्रम:

Y '= 2y * पाप (x)

हामी चरहरू विभिन्न दिशामा स्थानान्तरण गर्दछौं:

Dy / y = 2 * पाप (x) dx

अब हामी अभिन्न लिन्छौँ। ती सबै को अभिन्नहरूको विशेष तालिकामा भेट्टाउन सकिन्छ। र हामी प्राप्त गर्दछौं:

Ln (y) = -2 * cos (x) + C

यदि आवश्यक छ भने, हामी "एक्स" प्रकार्यको रूपमा "इरिक" व्यक्त गर्न सक्छौं। अब हामी भन्न सक्छौं कि शर्त हाम्रो निर्दिष्ट समीकरण समाधान भएको छ भने शर्त निर्दिष्ट गरिएको छैन। एक शर्त दिइएको छ, उदाहरणका लागि, y (n / 2) = e। त्यसपछि हामी केवल समाधानमा यी चरको मूल्यलाई विकल्प दिन्छौं र स्थिरको मूल्य पत्ता लगाउनुहोस्। हाम्रो उदाहरणमा, यो 1 हो।

समकालीन पहिलो-अर्डर अंतर समीकरण

अब अझ जटिल भागमा जानुहोस्। Homogeneous प्रथम-अर्डर अंतर समीकरण सामान्य प्रकारमा लेख्न सकिन्छ: y '= z (x, y)। यो ध्यान दिनु पर्छ कि दुई चर को सही प्रकार्य समृद्ध हो, र यसलाई दुई निर्भरताहरुमा विभाजित नहीं गर्न सकिन्छ: z बाट x र z बाट z। जाँच गर्नको लागि समीकरण भनेको सजाय हो वा होइन, यो एकदम सरल छ: हामी एक्सटाइम x = k * x र y = k * y बनाउँछौं। अब हामीले सबै कटी काट्यौं। यदि यी सबै अक्षरहरू घटाइएका छन् भने, समीकरण समानुभूति हुन्छ र तपाईं सुरक्षित रुपमा यसको समाधान गर्न सक्नुहुन्छ। अगाडि बढ्दै, चलो भन्नुहोस्: यी उदाहरणहरू सुल्झाउने सिद्धान्त पनि एकदम सरल छ।

हामीले एक विकल्प बनाउन आवश्यक छ: y = t (x) * x, जहाँ टी एक प्रकार्य हो जुन x मा निर्भर गर्दछ। त्यसपछि हामी व्युत्पन्न व्यक्त गर्न सक्छौं: y '= t' (x) * x + t। यो हाम्रो मूल समीकरणमा सबै यसलाई घटाउन र यसलाई सरल बनाउनुहोस्, हामी एक अलग उदाहरण चर र एक्स संग एक उदाहरण प्राप्त गर्छौं। हामी यसलाई समाधान गर्छौं र निर्भरता टी (एक्स) प्राप्त गर्दछौं। जब हामीले पार्यौं, त्यसपछि हाम्रो पछिल्लो प्रतिमा y = t (x) * x लाई मात्र बदल्नुहोस्। त्यसपछि हामी एक्स को निर्भरता प्राप्त गर्दछ एक्स।

यसलाई अझ स्पष्ट बनाउनको लागि, चलो उदाहरण दिनुहोस्: x * y '= yx * e ^{y / x} ।

प्रतिस्थापनको साथ चेक सबै कम छ। यसैले, समीकरण साँच्चै समृद्ध छ। अब हामी अन्य प्रतिस्थापन गर्छौं, जसको बारेमा हामीले बोलेका छौं: y = t (x) * x र y '= t' (x) * x + t (x)। सरलीकरण पछि, हामी निम्न समीकरण प्राप्त गर्दछौं: t '(x) * x = -e ^टी । हामी परिणामकारी उदाहरण को अलग चर को हल गर्दछ र प्राप्त गर्नुहोस: e ^-t = ln (C * x)। यो हाम्रो लागि y / x द्वारा टी को बदलन को लागी केवल बनी रह्छ (किनकी यदि y = t * x, त t = y / x), र हामी जवाफ प्राप्त गर्दछ: e ^{-y / x} = ln (x * C)।

रेखीय पहिलो-अर्डर अंतर समीकरण

यो अर्को व्यापक विषय विचार गर्न समय हो। हामी पहिलो-अर्डर आणविक विभेद समीकरणहरूको विश्लेषण गर्नेछौं। तिनीहरू कसरी अघिल्लो दुई भन्दा फरक छन्? यसलाई चिन्नुहोस्। पहिलो क्रम को रैखिक अंतर समीकरण सामान्य रूप मा निम्न समीकरण द्वारा लिखित जान सक्छ: y '+ g (x) * y = z (x)। स्पष्ट गर्न यो सार्थक छ कि z (x) र जी (x) निरन्तर मात्रा हुन सक्छ।

र अब एक उदाहरण: y '- y * x = x ² ।

समाधान गर्न दुई तरिकाहरू छन्, र हामी दुवैसँग क्रमबद्ध गर्नेछौं। पहिलो मनमाने स्थिरीहरूको भिन्नता को तरीका हो।

यस तरिकाको समीकरण समाधान गर्नको लागि, यो दायाँ-दायाँ छेउ शून्यमा समेट्न र परिणामकारी समीकरण समाधान गर्न आवश्यक छ, जुन भागको स्थानान्तरण पछि फारम लिन्छ:

Y '= y * x;

Dy / dx = y * x;

Dy / y = xdx;

Ln | y | = x 2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^सी = सी ₁ * ई ^{x2 / 2 मा} ।

अब हामी स्थिर सी ₁ प्रकार्य v (x) द्वारा, जसले हामीले फेला पार्न खोज्छ।

Y = v * e ^{x2 / 2} ।

हामी व्युत्पन्न प्रतिस्थापन गर्दछौं:

Y '= v' * ई ^{x2 / 2-} x * v * e ^{x2 / 2} ।

र मूल समीकरणमा यी अभिव्यक्तिहरू स्थानान्तरण गर्नुहोस्:

V '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ² ।

यसलाई देख्न सकिन्छ कि बायाँ तिर दुई सर्त रद्द गर्नुहोस्। यदि केही उदाहरणमा यो भएन भने, तपाईंले केहि गलत गर्नुभयो। जारी राखौं:

V '* e ^{x2 / 2} = x2।

अब हामी सामान्य समीकरण को हल गर्छौं, जसमा हामीले चर को अलग गर्न आवश्यक छ:

डी / डीएक्स = एक्स ² / ई ^{x2 / 2} ;

डी = x2 * ई ^{- x2 / 2} डीसी।

अभिन्न निकाल्न को लागी, हामी भागहरु द्वारा एकीकरण लागू गर्न पर्छ। यद्यपि, यो हाम्रो लेखको विषय होइन। यदि तपाईं चासो हुनुहुन्छ भने, तपाईं कसरी यो गर्न सिक्न सक्नुहुन्छ। यो गाह्रो छैन, र पर्याप्त कौशल र ध्यान संग धेरै समय लागेन।

आणविक समीकरण को सुलझाने को लागि हामिलाई दोस्रो विधि मा बदलन को लागि: बर्नूल्ली विधि। कुन दृष्टिकोण छिटो र सजिलो छ - यो तपाईं माथि छ।

यसैले, यो विधि द्वारा समीकरण को हल गर्दा, हामी एक विकल्प बनाउन को लागी छ: y = k * n। यहाँ k र n केहि आधारभूत कार्यहरू x मा आधारित हुन्छन्। त्यसपछि व्युत्पन्न यो देख्नेछ: y '= k' * n + k * n '। हामी दुवै substitutions को समीकरण मा बदले:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ² ।

समूह:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ² ।

अब हामी कोष्ठमा के छ शून्यमा समीकरण गर्न आवश्यक छ। अब, यदि हामी दुई नतिजा समीकरण को संयोजन गर्दछौं, हामी पहिलो-अर्डर अंतर समीकरण को एक प्रणाली प्राप्त गर्दछ, जो हल हुनु पर्छ:

N '+ x * n = 0;

K '* n = x ² ।

पहिलो समीकरण सामान्य समीकरणको रूपमा हल गरिएको छ। यो गर्नका लागि, तपाईंलाई चरहरू अलग गर्न आवश्यक छ:

Dn / dx = x * v;

डीएन / n = xdx।

हामी अभिन्न लिन्छौं र प्राप्त गर्दछ: ln (n) = x 2/2। त्यसपछि, यदि हामी एन व्यक्त गर्दछौं:

N = e ^{x2 / 2} ।

अब हामी परिणाम समानता प्रणाली को दोस्रो समीकरणमा बदल्छौं:

K '* e ^{x2 / 2} = x2।

र परिवर्तन, हामी पहिलो विधिमा समान समानता प्राप्त गर्दछौं:

Dk = ^{x2 /} e ^{x2 / 2} ।

हामी पनि थप कार्यहरू असहमति गर्दैनौं। यो भन्न योग्य छ कि पहिलो मा पहिलो अर्डर विभेद समीकरणको समाधानले महत्त्वपूर्ण कठिनाइहरूको कारण बनाउँछ। यद्यपि, विषयमा गहिरो विसर्जनको साथ, यो राम्रो र राम्रो प्राप्त गर्न सुरु हुन्छ।

अंतर समीकरण कहाँ प्रयोग गरिन्छ?

धेरै सक्रिय अंतर समीकरण भौतिकी मा प्रयोग गरिन्छ, किनकी लगभग सबै आधारभूत कानुनहरु अंतर रूप मा लिखित छन्, र हामी हेर्ने यी सूत्रहरु यी समीकरणहरूको समाधान हो। रसायन विज्ञानमा, तिनीहरू एउटै कारणको लागि प्रयोग गरिन्छ: आधारभूत नियमहरू उनीहरूको मद्दतबाट व्युत्पन्न हुन्छन्। जीव विज्ञान मा, अंतर समीकरणहरु प्रणाली को व्यवहार को मोडेल को लागी, उदाहरण को लागि प्रवर्तक-शिकार को लागी प्रयोग गरिन्छ। तिनीहरू प्रजननको मोडेल सिर्जना गर्न पनि प्रयोग गर्न सकिन्छ, भन्नुहोस्, सूक्ष्म जीवविज्ञानहरूको एउटा कलोनी।

जीवनमा भिन्न समीकरणहरूले कसरी मद्दत गर्नेछ?

यस प्रश्नको जवाफ सरल छ: कुनै बाटो छैन। यदि तपाईं एक वैज्ञानिक वा एक ईन्जिनियर होइन भने, तिनीहरू तपाईंलाई उपयोगी हुन सम्भव छैन। यद्यपि, सामान्य विकासको लागि, यो विभेद समीकरण हो के थाहा छ कि यो अपरिहार्य छैन र कसरि हल हुन्छ। अनि त्यसपछि छोरा या छोरीको प्रश्न "विचरा समीकरण के हो?" क्युल-डे-स्याउमा राख नगर्नुहोस्। खैर, तपाईं एक वैज्ञानिक वा एक ईन्जिनियरिङ् हुनुहुन्छ भने, तपाईं आफैलाई कुनै पनि विज्ञानमा यस विषयको महत्त्व बुझ्नुहुन्छ। तर मुख्य कुरा यो छ कि अब "पहिलो आदेश को अंतर समीकरण कसरी हल गर्ने?" तपाई सधै जवाफ दिन सक्नुहुनेछ। सहमत हुनुहोस्, यो सँधै सुन्दर छ, जब तपाइँ बुझ्न के मानिसहरू पनि डराउन डराउँछन्।

अध्ययनमा मुख्य समस्याहरू

यो विषय बुझ्नको मुख्य समस्या एकीकरण र कार्यलाई अलग गर्ने गरीब कौशल हो। यदि तपाईं डेरिभेटिभ र असुरक्षित नल्याउनुहुन्छ भने सम्भवतः, यो सिक्न सार्थक छ, एकीकरण र भिन्नताका विभिन्न तरिकाहरू मास्टर गर्न, र त्यसपछि त्यसपछि लेखमा वर्णन गरिएको सामग्री अध्ययन गर्न सुरु गर्न।

केही मानिसहरू चकित भए जब तिनीहरू जान्दथे कि dx स्थानान्तरण गर्न सकिन्छ, किनभने पहिले (स्कूलमा) यसलाई दाबी गरिएको थियो कि अंश डीआई / डीएक्स असक्षम छ। यहाँ तपाई को व्युत्पन्न मा साहित्य पढ्न आवश्यक छ र बुझ्न को लागी कि यो समीकरण को सुलझाने मा हेरफेर गर्न को लागी infiniteimal मात्रा को अनुपात हो।

धेरै व्यक्तिले तुरुन्तै यो थाहा छैन कि पहिलो अर्डर विभेद समीकरण को सुलझाने अक्सर एक फंक्शन या गैर-अभिन्न अभिन्न छ, र यो भ्रमले उनलाई धेरै समस्या दिन्छ।

तपाईले अझ राम्रो बुझ्नको लागि के अन्य पढ्न सक्नुहुन्छ?

विशेष पाठपुस्तकहरु बाट अंतर गणना को दुनिया मा अगाडी विलुप्तता सुरू गर्न उत्तम छ, उदाहरण को लागि, गैर गणित विशेषताहरु को छात्रों को लागि गणितीय विश्लेषण मा। त्यसपछि तपाईं थप विशेष साहित्यहरूमा जान सक्नुहुन्छ।

यो उल्लेखको लायक छ कि, विभेद समीकरणको अलावा, त्यहाँ पनि अभिन्न समीकरणहरू छन्, त्यसैले तपाईंसँग सधैँ प्रयास गर्न को लागी र के अध्ययन गर्न केहि हुनेछ।

निष्कर्ष

हामी आशा गर्दछौं कि यो लेख पढ्न पछि, तपाइँसँग एक फरक समीकरणको विचार छ र तिनीहरूलाई कसरी समाधान गर्न ठीक छ।

कुनै पनि मामला मा, गणित कुनै पनि तरिका मा हामिलाई जीवन मा उपयोगी छ। यसले तर्क र ध्यान विकास गर्दछ, बिना हरेक व्यक्ति बिना हात बिना।