भिन्नता - यो के हो? समारोह को अंतर कसरी पाउन?

डेरिवेटिव साथ आफ्नो कार्य भिन्नता - यो आधारभूत अवधारणाहरु केही पनि अंतर कलन, को मुख्य खण्ड गणितीय विश्लेषण को। inextricably लिङ्क रूपमा, तिनीहरूलाई दुवै धेरै शताब्दीयौंदेखि व्यापक छ कि वैज्ञानिक र प्राविधिक गतिविधि को पाठ्यक्रम उठ्दा लगभग सबै समस्या को सुलझाने प्रयोग गरिएको।

अंतर को अवधारणा को उद्भव

पहिलो पटक यो स्पष्ट छ कि यस्तो अंतर, को संस्थापक को एक (Isaakom Nyutonom साथ) अंतर कलन प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ Gotfrid Vilgelm Leybnits गरे। कि 17 औं सताब्दी गणितज्ञ अघि। जो तल मोल समारोह बस हुन सक्दैन धेरै सानो स्थिर मूल्य तर शून्य बराबर छैन, प्रतिनिधित्व, केही infinitesimal कुनै पनि ज्ञात समारोह को "अविभाजित" को धेरै अस्पष्ट र अस्पष्ट विचार गरिन्छ। यसैले यो समारोह तर्क र उत्तरार्द्ध को डेरिवेटिव मामलामा व्यक्त गर्न सकिन्छ कि कार्यहरु को उनको सम्बन्धित वृद्धिमा को infinitesimal वृद्धिमा को किराना को परिचय मात्र एक कदम थियो। र यो चरण लगभग एक साथ माथि दुई ठूलो वैज्ञानिकहरू लगियो।

विज्ञान को सामना गर्नु भनेर जरुरी व्यावहारिक मेकानिक्स समस्या सम्बोधन गर्न आवश्यक आधारित तीव्र गतिमा उद्योग र प्रविधिको विकास, न्यूटन र Leibniz यस्तो अवधारणाहरु को परिचय गर्न नेतृत्व जो, (विशेष गरी ज्ञात trajectory को शरीर को यांत्रिक गति सन्दर्भमा) परिवर्तन को दर को कार्य फेला को साधारण तरिका सिर्जना, को व्युत्पन्न समारोह र अंतर रूपमा र पनि जानिन्छ प्रति se (चल) रूपमा अल्गोरिदम व्युत्क्रम समस्या समाधान अभिन्न अवधारणा गर्न नेतृत्व गरेको छ कि बाटो फेला पार्न traversed गति फेला आला।

Δh उत्तरार्द्ध को मूल्य गणना गर्न सफलतापूर्वक लागू गर्न सकिन्छ कि Δu कार्यहरु वृद्धि आधारभूत तर्क को बढाइ गर्न समानुपातिक छ - Leibniz र न्यूटन गरेको विचार को काम मा पहिलो यो भिन्नता छ कि देखियो। शेष, शून्य tending Δh → रूपमा - अर्को शब्दमा, तिनीहरूले एउटा बढाइ समारोह (परिभाषा यसको डोमेन भित्र) कुनै पनि विन्दुमा हुन सक्छ कि यसको व्युत्पन्न दुवै Δu = वाई '(X) Δh + αΔh जहाँ α Δh मार्फत व्यक्त गरिएको छ फेला पारेका छौं 0, वास्तविक Δh भन्दा धेरै छिटो।

गणितीय विश्लेषण को संस्थापक अनुसार, भिन्नता - यो ठीक कुनै पनि कार्य को वृद्धिमा पहिलो अवधि छ। पनि एक स्पष्ट परिभाषित सीमा अवधारणा दृश्यहरु को व्युत्पन्न को अंतर मूल्य काम गर्न tends कि intuitively बुझे छन् बिना गर्दा Δh → 0 - Δu / Δh → वाई '(X)।

मुख्यतया एक भौतिक र शारीरिक समस्या को अध्ययन लागि सहायक उपकरण रूपमा छलफल गणितीय उपकरण थियो न्यूटन, विपरीत, Leibniz थप ध्यान यस टुलकिट गर्न, दृश्य र बोधगम्य प्रतीक गणितीय मान प्रणाली सहित भुक्तानी। यो भिन्नता समारोह उप को मानक संकेतन प्रस्तावित गर्ने = वाई '(X) dX, dX, र आफ्नो सम्बन्ध वाई रूपमा तर्क समारोह को व्युत्पन्न' (X) = उप / dX उहाँले थियो।

आधुनिक परिभाषा

आधुनिक गणित को मामला मा अंतर के हो? यसलाई राम्ररी चल बढाइ को अवधारणा सम्बन्धित छ। चर Y Y Y = ₁ को पहिलो मूल्य लिन्छ _भने, त्यसपछि y = वाई _2, फरक वाई ₂ ─ वाई ₁ बढाइ मूल्य वाई भनिन्छ। यो वृद्धि सकारात्मक हुन सक्छ। नकारात्मक र शून्य। शब्द "बढाइ" Δ, Δu नामित छ रेकर्ड (पढ्ने 'डेल्टा वाई') को बढाइ वाई को मूल्य सङ्केत गर्छ। त्यसैले Δu = वाई ₂ ─ वाई _1।

मान Δu मनपरी समारोह y = च (एक्स) जहाँ एक Δh कुनै निर्भरता, टी छ Δu = एक Δh + α, प्रतिनिधित्व हुन सक्छ। यदि दिइएको x को लागि ई एक = const, र शब्द α Δh → 0 tends गर्दा यो denoted, पनि छिटो वास्तविक Δh, त्यसपछि पहिलो ( "मास्टर") शब्द समानुपातिक Δh भन्दा छ, र को लागि वाई = च (एक्स) अंतर छ उप वा DF (X) (पढ्नुहोस् "वाई डे", "डे एक्स देखि EFF")। त्यसैले भिन्नता - एक "मुख्य" रैखिक वृद्धिमा Δh कार्यहरु को घटक आदर।

यांत्रिक व्याख्या

सार्दा एक सीधा लाइन मा दूरी - को च (टी) = गरौं सामाग्री बिन्दु (- यात्रा समय टी) प्रारम्भिक बाट। बढाइ Δs - एक समय अन्तराल Δt समयमा बाटो विन्दु हो, र अंतर डी एस = च '(टी) Δt - यो बाटो, जो बिन्दु नै समय को लागि आयोजित हुनेछ Δt, यो गति च खुलिरहेको यदि' (टी), समय टी मा पुग्यो । जब वास्तविक Δs infinitesimally Δt आदर एक उच्च आदेश भएको एक infinitesimal Δt डी एस काल्पनिक बाटो अलग छ। समय टी मा गति शून्य बराबर छैन भने, अनुमानित मूल्य डी एस सानो पूर्वाग्रह बिन्दु दिन्छ।

ज्यामितीय व्याख्या

लाइन एल वाई = च (एक्स) को ग्राफ छ गरौं। त्यसपछि Δ एक्स = MQ, Δu = QM '(हेर्नुहोस्। तल फिगर)। Tangent MN खण्डन Δu दुई भागहरु, QN र सना 'मा कटौती। पहिलो र Δh छ समानुपातिक QN = MQ टीजी (कोण QMN) = Δh च '(X), टी। ई QN उप अंतर छ ∙।

फरक Δu NM'daet ─ उप, Δh → 0 सना लम्बाइ 'पनि छिटो तर्क को बढाइ भन्दा, घट्ने हुँदा को दोस्रो भाग यसलाई Δh भन्दा उच्च smallness क्रम छ अर्थात्। यस मामला मा, यदि च '(X) ≠ 0 (गैर-समानान्तर ट्यान्जेन्ट साँढे) खण्डहरूमा QM'i QN बराबर; अर्को शब्दमा सना 'तीव्र गतिमा (यसको उच्च को smallness को अर्डर) कुल बढाइ Δu = QM भन्दा घट्छ'। यो चित्र (आउँदै खण्ड M'k एम NM'sostavlyaet सबै साना प्रतिशत QM 'खण्ड) मा स्पष्ट छ।

त्यसैले, चित्रात्मक मनपरी समारोह स्पर्शरेखा को ordinate को बढाइ बराबर छ अंतर।

व्युत्पन्न र अंतर

अभिव्यक्ति बढाइ समारोह को पहिलो अवधि एक कारक आफ्नो व्युत्पन्न च '(X) को मूल्य बराबर छ। तसर्थ, निम्न सम्बन्ध - उप = च '(X) Δh वा DF (X) = च' (X) Δh।

यो स्वतन्त्र तर्क को बढाइ यसको अंतर Δh = dX बराबर हो भनेर चिनिन्छ। तदनुसार, हामी लेख्न सक्नुहुन्छ: च '(X) dX = उप।

फेला (कहिलेकाहीं "निर्णय" हुन भने) भिन्नता पनि डेरिवेटिव लागि जस्तै नियम द्वारा गरिन्छ। तिनीहरूलाई एक सूची तल दिइएको छ।

के थप सार्वभौमिक छ: तर्क वा यसको अंतर को बढाइ

यहाँ केही स्पष्टिकरण बनाउन आवश्यक छ। प्रतिनिधित्व मूल्य च '(X) अंतर Δh सम्भव एउटा तर्कको रूपमा एक्स विचार गर्दा। तर समारोह एक्स तर्क टी को एक समारोह हुन सक्छ जसमा एक जटिल, हुन सक्छ। त्यसपछि को च '(X) Δh को अंतर अभिव्यक्ति को प्रतिनिधित्व, नियम, यो असम्भव छ; + B मा रैखिक निर्भरता एक्स = को मामला मा बाहेक।

सूत्र च रूपमा '(X) dX = उप, त्यसपछि एक्स टी को Parametric निर्भरता को मामला मा स्वतन्त्र तर्क एक्स मामला (त्यसपछि dX = Δh) मा, यो अंतर छ।

उदाहरणका लागि, अभिव्यक्ति 2 Δh X Y = एक्स ² एक्स एक तर्क छ जब यसको अंतर लागि हो। अब हामी एक्स = टी ² र टी तर्क मान। त्यसपछि वाई = एक्स ² = टी ^4।

यो द्वारा (टी Δt) ² = टी ² + 2tΔt + Δt ² पछि ^छ। यसैले Δh = 2tΔt + Δt ^2। यसैले: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2)।

यो अभिव्यक्ति छैन समानुपातिक Δt छ, र यसैले अब 2xΔh अन्तर छैन छ। यो समीकरण Y = एक्स ² = टी ⁴ देखि पाउन ^{सकिन्छ।} यो बराबर उप = 4t ³ Δt छ।

हामी अभिव्यक्ति 2xdx लिन भने, यो कुनै पनि तर्क टी लागि अंतर वाई = एक्स ² हो। साँच्चै, एक्स = टी ² dX = 2tΔt प्राप्त गर्दा।

त्यसैले 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, टी। ई दुई फरक चर रेकर्ड अभिव्यक्तिले भिन्नता एकै समयमा पर्नु।

वृद्धिमा भिन्नता प्रतिस्थापन

च भने '(X) ≠ 0, त्यसपछि Δu र उप बराबर (जब Δh → 0); यदि च '(X) = 0 (अर्थ र उप = 0), तिनीहरूले बराबर छन्।

उदाहरणका लागि, यदि वाई = एक्स ^2, त्यसपछि Δu = (x + Δh) ² ─ एक्स ² = 2xΔh + Δh ² र उप = 2xΔh। यदि X = 3, त्यसपछि हामी एक्स = 0 मूल्य Δu = Δh ² र उप = 0 बराबर छैनन् जब Δu = 6Δh + Δh ² र उप = 6Δh कारण Δh ² → 0 बराबर हो कि, छ।

यो वास्तवमा, सँगै अंतर को सरल संरचना संग (एम। Δh आदर ई Linearity), अक्सर अनुमानित गणना मा, धारणा मा प्रयोग गरिन्छ कि सानो Δh लागि Δu ≈ उप। को अंतर समारोह सामान्यतया बढाइ को सही मूल्य गणना गर्न भन्दा सजिलो छ पत्ता लगाउनुहोस्।

उदाहरणका लागि, हामी किनारा संग धातु घन छ X = 10.00 सेमी। Δh = 0.001 सेमी। वृद्धि कसरी मात्रा घन वी मा lengthened किनारा हीटिंग मा? ^{हामी,} वी = एक्स ² छ भनेर DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (सेमी ^3)। वृद्धि ΔV बराबर अंतर DV, ताकि ΔV = 3 सेमी ^3। पूर्ण गणना ΔV दिन्छु = 10,01 ─ ³ को 10 ³ = 3.003001। तर पहिलो अविश्वसनीय बाहेक सबै अंक को परिणाम; त्यसैले, यो 3 सेमी ³ सम्म गोलो गर्न अझै पनि आवश्यक ^छ।

प्रस्ट छ, यो दृष्टिकोण यसलाई त्रुटि संग प्रदान मान अनुमान गर्न सम्भव छ भने मात्र उपयोगी छ।

अन्तर समारोह: उदाहरणहरू

गरेको को व्युत्पन्न ^{फेला,} समारोह y = एक्स ³ को अंतर फेला पार्न प्रयास गरौं। हामीलाई तर्क बढाइ Δu दिन र परिभाषित गरौं।

Δu = (Δh + X) ³ ─ एक्स ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3)।

यहाँ, को गुणक एक = 3x ² पहिलो अवधि समानुपातिक Δh, अन्य सदस्य 3xΔh Δh ² + ³ छ भनेर, Δh निर्भर गर्दैन Δh → 0 तर्क को बढाइ भन्दा छिटो घट्छ जब। फलस्वरूप, को 3x ² Δh सदस्य वाई = एक्स ³ को अंतर ^छ:

उप = 3x ² Δh = 3x ² dX वा D (X ³⁾ = 3x ² dX।

Wherein घ (X ³⁾ / dX = 3x ^2।

उप हामी अब फेला समारोह y = 1 / एक्स को व्युत्पन्न द्वारा। त्यसपछि घ (1 / एक्स) / dX = ─1 / X ^2। त्यसैले उप = ─ Δh / X ^2।

आधारभूत बीजीय कार्यहरु तल दिइएको भिन्नता।

अंतर प्रयोग अनुमानित गणना

समारोह च (एक्स) मूल्याङ्कन गर्न, र यसको व्युत्पन्न च '(X) मा एक्स = एक अक्सर गाह्रो छ, तर एक्स = एक को वरपर नै गर्न सजिलो छ। त्यसपछि अनुमानित अभिव्यक्ति को सहायता गर्न आउन

च (एक + Δh) ≈ च '(एक) Δh + F (क)।

यो सानो वृद्धिमा मा प्रकार्य को अनुमानित यसको अंतर Δh च '(एक) Δh मार्फत मूल्य दिन्छ।

त्यसैले, यो सूत्र भाग (X = क) र एउटै सुरूवात बिन्दु मा अंतर को सुरूवात विन्दुमा यसको मूल्य एक योगफल रूपमा लम्बाइ Δh एक भाग को अन्त बिन्दु मा प्रकार्य लागि अनुमानित अभिव्यक्ति दिन्छ। समारोह को मान निर्धारण लागि विधि को शुद्धता तलको चित्र देखाउँछ।

तर ज्ञात र सूत्र परिमित वृद्धिमा दिएको समारोह एक्स = एक + Δh को मूल्य को लागि सही अभिव्यक्ति (वा, वैकल्पिक, Lagrange गरेको सूत्र)

च (एक + Δh) ≈ च '(ξ) Δh + F (क),

बिन्दु x = एक + ξ, एक्स = एक देखि एक्स = एक + Δh गर्न अन्तराल छ जहाँ हुनत यसको सही स्थिति अज्ञात छ। सही सूत्र अनुमानित सूत्र को त्रुटि मूल्याङ्कन गर्न अनुमति दिन्छ। यो सही हुन ceases, तर नियम रूपमा दिन्छ, को अंतर को मामला मा मूल अभिव्यक्ति भन्दा धेरै राम्रो दृष्टिकोण हुनत हामी, Lagrange सूत्र ξ = Δh / 2 मा राख्न भने।

अंतर लागू गरेर मूल्यांकन सूत्रहरू त्रुटि

नाप्ने उपकरण सिद्धान्त मा, गलत र त्रुटि अनुरूप मापन डेटा ल्याउन। तिनीहरूले सीमित द्वारा विशेषता छन् निरपेक्ष त्रुटि, सकारात्मक स्पष्ट निरपेक्ष मान (वा यसलाई मा सबै भन्दा बराबर) मा त्रुटि अधिक, -, सीमा त्रुटि वा छोटो मा। सीमित सापेक्षिक त्रुटि भएको मापन मूल्य निरपेक्ष मान गरेर विभाजन गरेर प्राप्त लब्धि भनिन्छ।

गरौं vychislyaeniya वाई प्रयोग, तर एक्स मान मापन परिणाम हो, र यसैले वाई त्रुटि ल्याउँछ सही सूत्र वाई = च (एक्स) प्रकार्य। त्यसपछि, सूत्र प्रयोग गरेर पनि सीमित निरपेक्ष त्रुटि │Δu│funktsii वाई पाउन

│Δu│≈│dy│ = │ च '(X) ││Δh│,

जहाँ │Δh│yavlyaetsya हाशिये त्रुटि तर्क। │Δu│ मात्रा, माथिको राउण्ड हुनुपर्छ रूपमा गलत गणना नै भएको अंतर गणना मा वृद्धि को प्रतिस्थापन छ।