रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली। रैखिक बीजीय समीकरण को Homogeneous सिस्टम

स्कूलमा, हामी प्रत्येक समीकरण को सिस्टम समीकरण अध्ययन र, पक्कै पनि। तर धेरै मानिसहरू त्यहाँ तिनीहरूलाई समाधान गर्न धेरै तरिकाहरू छन् भनेर थाह छ। आज हामी दुई भन्दा बढी समीकरण बनेको हो, जो रैखिक बीजीय समीकरण, को एक प्रणाली सुलझाने लागि ठीक सबै विधिहरू देख्नेछन्।

कथा

आज हामी समीकरण र आफ्नो प्रणाली सुलझाने को कला प्राचीन बेबिलोन र मिश्रमा उत्पत्ति भनेर थाह छ। तर, आफ्नो परिचित फारममा समानता 1556 मा अंग्रेजी गणितज्ञ रेकर्ड द्वारा शुरू भएको थियो जो बराबर चिन्ह "=", को घटना पछि हामीलाई देखियो। खैर, यो प्रतीक एउटा कारण रोजेका थियो: यो दुई समानान्तर बराबर खण्डहरूमा हो। साँच्चै, समानता को सबै भन्दा राम्रो उदाहरण माथि छैन आउँछन्।

आधुनिक अभिलेख को संस्थापक र अज्ञात हदसम्म को प्रतीक, फ्रान्सेली गणितज्ञ Fransua भियतनामी। तर, यसको पद आज देखि एकदम फरक छ। उदाहरणका लागि, एउटा अज्ञात नम्बर एक वर्ग उहाँले पत्र क्यू (। अक्षां "quadratus"), अनि घन द्वारा नामित - (। अक्षां "cubus") पत्र सी। यी प्रतीक अब असहज जस्तो, तर त्यसपछि यो रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली लेख्न सबैभन्दा सहज बाटो थियो।

तथापि, समाधान व्याप्त विधिहरू मा एक बेफाइदा गणितज्ञ मात्र सकारात्मक जरा छलफल गरेको थियो। सायद यो नकारात्मक मान कुनै पनि व्यावहारिक आवेदन छैन भन्ने तथ्यलाई कारण छ। एउटा तरिका वा अर्को, तर पहिलो नकारात्मक जरा इटालियन गणित Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano र राफेइल Bombelli 16 औं शताब्दीमा पछि थाले छलफल गर्न। एक आधुनिक नजर, हल को मुख्य विधि द्विघात समीकरण (discriminant मार्फत) Descartes र न्यूटन को काम मार्फत मात्र 17 औं सताब्दी मा स्थापित भएको थियो।

को 18 औं शताब्दीमा स्विस गणितज्ञ को बीचमा गब्रिएल Cramer सजिलो रैखिक समीकरण को प्रणाली को समाधान गर्न नयाँ तरिका फेला परेन। यो विधि पछि पछि नाम थियो, र यो दिन हामीले यसलाई प्रयोग गर्नुहोस्। तर एक सानो पछि क्रेमर कुरा को विधि मा, अब तर हामी रैखिक समीकरण र आफ्नो समाधान प्रणाली बाट अलग छलफल हुनेछ।

रैखिक समीकरण

Linear समीकरण - चल (s) साधारण समीकरण। तिनीहरूले बीजीय हौं। Linear समीकरण निम्नानुसार सामान्य फारममा लेखिएको: ₁ * एक्स ₁ + _{2 *} एक्स ₂ + ... र _N * एक्स _N = ख। यो फारम पेश हामी प्रणाली को तयारी मा आवश्यक र matrices हुनेछ।

रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली

यो अवधि को परिभाषा छ: साधारण unknowns र सामान्य समाधान छ कि समीकरण को एक सेट। सामान्यतया, विद्यालय सबै दुई वा तीन समीकरण संग एक प्रणाली हल। तर चार वा बढी घटक संग प्रणाली छन्। का कसरी भनेर पछि यसलाई समाधान गर्न सुविधाजनक थियो तिनीहरूलाई लेख्न पहिलो हेरौं। त्यसैले 1,2,3 र: यदि सबै चर संवाददाता सूचकांक संग एक्स रूपमा लेखिएका छन् भन्दा पहिले, रैखिक बीजीय समीकरण को सिस्टम राम्रो हुनेछ। दोश्रो, यो प्रमाणिक फारममा सबै समीकरण नेतृत्व गर्नुपर्छ: ₁ * एक्स ₁ + _{2 *} एक्स ₂ + ... र _N * एक्स _N = ख।

यी सबै कदम पछि, हामी तपाईंलाई बताउन कसरी रैखिक समीकरण को प्रणाली को समाधान खोज्न सुरु गर्न सक्नुहुन्छ। सजिला म्याट्रिक्स कि लागि धेरै आउनेछ।

म्याट्रिक्स

म्याट्रिक्स - पङ्क्ति र स्तम्भहरू हुन्छन् कि तालिका र त्यसको तत्व आफ्नो चौराहे मा छन्। यो एक विशिष्ट मूल्य वा चर या त हुन सक्छ। प्रायजसो मा, subscripts (जस्तै, ₁₁ वा ₂₃ राम्रो) तल प्रबन्ध छन् तत्व निर्दिष्ट गर्न। स्तम्भ - पहिलो सूचकांक पङ्क्ति नम्बर, र दोस्रो संकेत गर्छ। माथि र कुनै पनि अन्य गणितीय तत्व रूपमा माथि matrices विभिन्न सञ्चालन गर्न सक्दैन। त्यसैले, तपाईंले:

1) घटाउनुहोस् र तालिका को एउटै आकार थप्नुहोस्।

2) कुनै पनि नम्बर वा सदिश गर्न म्याट्रिक्स गुणा।

3) TRANSPOSE: कलम मा म्याट्रिक्स रेखाहरू परिवर्तन र स्तम्भहरू - लाइन मा।

पंक्तिहरूको संख्या स्तम्भहरू एक फरक नम्बर तिनीहरूलाई को एक बराबर छ भने 4), मैट्रिक्स गुणा।

तिनीहरूले भविष्यमा हामीलाई उपयोगी छन् रूपमा विस्तार, यी प्रविधी को सबै छलफल गर्न। घटाउ र matrices को वाहेक धेरै सरल छ। हामी एउटै आकार म्याट्रिक्स लिन भएकोले एक तालिका प्रत्येक तत्व हरेक अन्य तत्व सम्बन्धित छ। यसरी हामी थप्न (घटाउनुहोस्) यी तत्व को दुई (यसलाई आफ्नो matrices मा नै जमीनमा खडा थिए महत्त्वपूर्ण छ)। म्याट्रिक्स वा सदिश को संख्या ले गुणन जब तपाईं बस भनेर नम्बर (वा सदिश) द्वारा म्याट्रिक्स प्रत्येक तत्व गुणन। Transposition - धेरै रोचक प्रक्रिया। धेरै उहाँलाई ट्याब्लेट वा फोन को अभिमुखीकरण परिवर्तन गर्दा, उदाहरणका लागि, वास्तविक जीवन देख्न कहिलेकाहीं रोचक। डेस्कटपमा प्रतिमा एक म्याट्रिक्स छ, र स्थिति परिवर्तन संग, यो स्थानान्तरित छ र व्यापक हुन्छ, तर उचाइ मा घट्छ।

हामीलाई जस्ता एक प्रक्रिया हेरौं म्याट्रिक्स गुणन। हुनत उहाँले हामीलाई भन्नुभयो, र उपयोगी छ, तर यो अझै पनि उपयोगी छ सजग हुनुहोस्। गुणन दुई matrices एक तालिका स्तम्भहरू संख्या अन्य पङ्क्तिहरू संख्या बराबर हो भनेर मात्र अवस्थामा हुन सक्छ। अब एक म्याट्रिक्स लाइन तत्व र संवाददाता स्तम्भ अन्य तत्व लिन। प्रत्येक अन्य र त्यसपछि योगफल तिनीहरूलाई गुणन (: एक * ख _{11 12} + ₁₂ * ख र ₂₂ अर्थात्, उदाहरणका लागि, तत्व ₁₁ र ₁₂ र ₁₂ ख र ₂₂ ख मा एक उत्पादन बराबर _{हुनेछ)।} त्यसैले, थप एक तालिका वस्तु, र यो समान एक विधि भरिएको छ।

अब हामी रैखिक समीकरण को प्रणाली कसरी समाधान गर्न छलफल सुरु गर्न सक्नुहुन्छ।

Gauss

यो विषय स्कूलमा ठाउँ लिन थाले। हामी धेरै राम्रो "दुई रैखिक समीकरण को सिस्टम" को अवधारणा थाहा र तिनीहरूलाई कसरी समाधान गर्न थाहा छ। तर के समीकरण संख्या दुई भन्दा बढी छ भने? यसले हामीलाई मदत गर्नेछ Gauss विधि।

निस्सन्देह, यो विधि तपाईं सिस्टम को एक म्याट्रिक्स बनाउन भने, प्रयोग गर्न सुविधाजनक छ। तर तपाईं यो रूपान्तरण र यसको आफ्नै निर्णय गर्न सक्दैन।

त्यसैले, कसरी रैखिक समीकरण Gauss को एक प्रणाली गरेर समाधान गर्न? खैर, यस विधि हुनत र उहाँलाई पछि नाम, तर प्राचीन समयमा यो पत्ता। Gauss अन्ततः echelon फारममा totality परिणाम लागि, समीकरण संग बाहिर एउटा सञ्चालनको छ। त्यो तपाईं अन्तिम समीकरण गर्न शीर्ष-तल (सही ठाँउ भने) पहिलो देखि एक अज्ञात waned आवश्यक छ। - तीन unknowns, दोस्रो - दुई तेस्रो मा - एक पहिलो: अर्को शब्दमा, हामी तीन समीकरण, हामी भयो भनेर पक्का गर्न आवश्यक भन्न। त्यसपछि, पछिल्लो समीकरण देखि, हामी पहिलो अज्ञात फेला, दोस्रो वा पहिलो समीकरण यसको मूल्य विकल्प र थप बाँकी दुई चर पाउन।

Cramer शासनले

यो प्रविधी को विकास को लागि, matrices को घटाउ, साथै निर्धारक पत्ता लगाउन सक्षम गर्न आवश्यकता साथै को कौशल मास्टर गर्न अत्यावश्यक छ। त्यसैले, तपाईं यो सबै गरिरहेका असहज वा थाहा छैन कसरी भने, यो आवश्यक सिक्न र प्रशिक्षित गर्न छ।

यो विधि को सार के हो र कसरी त्यसो गर्न, रैखिक समीकरण Cramer को एक प्रणाली प्राप्त गर्न? यो धेरै सरल छ। हामी संख्या एक म्याट्रिक्स (लगभग सधैं) रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली को गुणांकहरूको निर्माण गर्न आवश्यक छ। यो गर्न, बस अज्ञात संख्या लिनुहोस्, र हामी तिनीहरूले सिस्टम लिपिबद्ध छन् भनेर क्रममा तालिका व्यवस्था। संख्या चिन्ह अघि भने "-", त्यसपछि हामी नकारात्मक गुणक लेख्नुहोस्। त्यसैले, हामी unknowns को गुणांकहरूको पहिलो म्याट्रिक्स, को बराबर चिन्ह पछि संख्या सहित छैन (- गुणांकहरूको संग सबै unknowns को पाठ्यक्रम, दायाँ सिर्फ एक नम्बर, र बायाँ हुँदा समीकरण को प्रमाणिक फारम कम गर्न छ) गरे। प्रत्येक चल लागि एक - त तपाईं केही matrices बनाउन आवश्यक छ। यो उद्देश्य लागि, एउटा स्तम्भ द्वारा पहिलो म्याट्रिक्स मा बराबर चिन्ह पछि गुणांकहरूको संग प्रत्येक स्तम्भ संख्या बदलिएको छ। यसरी हामी केही matrices प्राप्त र त्यसपछि आफ्नो निर्धारक पाउन।

हामी क्वालिफायर फेला पछि, यो सानो छ। हामी एक प्रारम्भिक म्याट्रिक्स छ, र त्यहाँ जो विभिन्न चर अनुरूप धेरै उत्पन्न matrices छन्। एक प्रणाली समाधान प्राप्त गर्न, हामी तालिकाको प्राथमिक determinant मा परिणामस्वरूप तालिका को determinant विभाजन। परिणामस्वरूप नम्बर एक चर को मूल्य छ। त्यसै गरी, हामी सबै unknowns पाउन।

अन्य विधिहरू

त्यहाँ लामबद्ध समीकरण को प्रणाली को समाधान प्राप्त गर्न धेरै विधिहरू छन्। उदाहरणका लागि, एक तथाकथित Gauss-जोर्डन विधि, द्विघात समीकरण को सिस्टम को समाधान फेला लागि प्रयोग गरिन्छ जो, र पनि matrices को प्रयोग गर्न भन्छिन्। रैखिक बीजीय समीकरण को एक प्रणाली सुलझाने को लागि एक Jacobi विधि पनि छ। सबै कम्प्युटर उहाँले सजिलै adapts र गणना मा प्रयोग गरिन्छ।

जटिल अवस्थामा

समीकरण संख्या चर को संख्या भन्दा कम छ भने जटिलता सामान्यतया हुन्छ। त्यसपछि हामी पक्कै पनि भन्न सक्नुहुन्छ, वा प्रणाली असंगत छ (अर्थात्, कुनै जरा छ), वा यसको निर्णय संख्या अनन्त गर्न tends। हामी दोस्रो मामला छ भने - यो रैखिक समीकरण को सिस्टम को सामान्य समाधान लेख्न आवश्यक छ। यो कम्तिमा पनि एक चर समावेश गरिनेछ।

निष्कर्षमा

यहाँ हामी अन्त गर्न आउँछन्। सारांशमा गर्न: प्रणाली म्याट्रिक्स, रैखिक समीकरण को एक प्रणाली को सामान्य समाधान खोज्न सिकेका कुरा बुझ्न हामी छ। साथै हामी अन्य विकल्प मानिन्छ। गाउसियन उन्मूलन र: हामी रैखिक समीकरण को प्रणाली कसरी समाधान गर्न बाहिर समझ Cramer शासनले। हामी कठिन अवस्थामा र समाधान फेला अन्य तरिका बारे कुरा।

वास्तवमा, यो मुद्दा धेरै व्यापक छ, र तपाईं राम्रो यसलाई बुझ्न चाहनुहुन्छ भने, हामीले तपाईंलाई विशेष साहित्य बढी पढ्न सल्लाह।