Maclaurin र केही कार्यहरु अपघटन

उन्नत गणित अध्ययन हामीलाई एक नम्बर को convergence को अन्तराल मा एक शक्ति श्रृंखला योगफल, पटकसम्म लगातार र असीमित नम्बर एक भिन्नता समारोह छ कि सजग हुनुपर्छ। प्रश्न उठ्छ: एउटा मनपरी समारोह च दिइएको तर्क गर्न सम्भव छ (X) - एक शक्ति श्रृंखला योगफल छ? कि च-tions च (एक्स) एक शक्ति श्रृंखला प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ के अवस्थामा छ? यो मुद्दा को महत्व यो लगभग £ Theological च (एक्स) एक शक्ति श्रृंखला को पहिलो केही सर्तहरू योगफल छ प्रतिस्थापन गर्न सम्भव छ कि छैन, त्यो एउटा polynomial छ। polynomial - - प्रतिस्थापन समारोह जस्तै एकदम सरल अभिव्यक्ति हो सुविधाजनक र केही समस्या सुलझाने छ , गणितीय विश्लेषण मा अर्थात् गणना गर्दा integrals सुलझाने मा अंतर समीकरण , आदि ...

यो साबित भएको छ, केही च-II च (एक्स), wherein को (N + 1) -th अर्डरको डेरिवेटिव गणना गर्न सकिन्छ, को वरपर मा नवीनतम सहित (α लागि - आर; एक्स ₀ + R) एक बिन्दु x = α को उचित सूत्र छ:

यो सूत्र प्रसिद्ध वैज्ञानिक Brooke टेलर पछि नाम छ। अघिल्लो एक बाट लिइएको हो जो एक नम्बर, एक Maclaurin श्रृंखला भनिन्छ:

कि यो सम्भव बनाउँछ एक नियमले Maclaurin श्रृंखला मा विस्तार उत्पादन:

1. पहिलो, दोस्रो, तेस्रो, ... अर्डर डेरिवेटिव निर्धारण।
2. एक्स = 0 मा डेरिवेटिव के हुन् गणना।
3. रेकर्ड Maclaurin श्रृंखला यो समारोह लागि, र त्यसपछि convergence को अन्तराल निर्धारण गर्न।
4. (; आर -R), सूत्र Maclaurin को जहाँ अवशिष्ट भाग अन्तराल निर्धारण

आर _एन (X) -> 0 लागि N -> अनन्त। एक अवस्थित छ भने, यो कार्य च (एक्स) को Maclaurin श्रृंखला योगफल बराबर हुनुपर्छ।

अब व्यक्तिगत कार्यहरु लागि Maclaurin श्रृंखला विचार गर्नुहोस्।

1 तसर्थ, पहिलो च गर्न (X) = ई ^{एक्स।} निस्सन्देह, तिनीहरूको विशेषताहरु च-Ia जहाँ K सबै बराबर हो ^(x) = ई ^एक्स आदेश को एक किसिम र च ^(K), व्युत्पन्न छ त प्राकृतिक संख्या। विकल्प एक्स = 0। हामी च ^{(K) (0)} = ई ⁰ = 1, K = 1,2 प्राप्त ... पूर्वोक्त, ई ^एक्स एक नम्बर मा आधारित निम्नानुसार यो हुनेछ:

समारोह च (एक्स) = पाप x को लागि 2 Maclaurin श्रृंखला। तुरुन्तै हुनेछ, च बाहेक ^'(X) = कस एक्स = पाप (x + N / 2), ^{च' '(X)} = -sin एक्स = पाप (एक्स सबै अज्ञात डेरिवेटिव लागि भनेर च-tions निर्दिष्ट + 2 * N / ²⁾ ..., च ^{(K) (x)} = पाप (x + N * K / 2), जहाँ K कुनै पनि सकारात्मक पूर्णांक बराबर छ। त्यो सरल गणना बनाउने, छ, हामी च लागि श्रृंखला (X) = पाप एक्स यो जस्तै हुनेछ भन्ने निष्कर्षमा पुग्न सक्छौं:

3. अब iju च-च (एक्स) = कस एक्स विचार गरौं। यसलाई मनपरी अर्डर सबै डेरिवेटिव लागि अज्ञात छ, र ^{| च (K) (x)} | = | किनकी (x + K * N / 2) | <= 1, K = 1,2 ... फेरि, यो गरे होने केही गणना, हामी च लागि श्रृंखला (X) = कस एक्स यो जस्तो हुनेछ फेला:

त्यसैले, हामी एक Maclaurin श्रृंखला मा विस्तार गर्न सकिन्छ भन्ने सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण विशेषताहरू सूचीबद्ध छन्, तर तिनीहरू केही कार्यहरु लागि टेलर श्रृंखला पूरक। अब हामी तिनीहरूलाई साथै सूची हुनेछ। यो पनि टेलर श्रृंखला र Maclaurin श्रृंखला उच्च गणित मा निर्णय को कार्यशाला श्रृंखला को एक महत्वपूर्ण भाग हो भनेर उल्लेख गर्नुपर्छ। त्यसैले, टेलर श्रृंखला।

1 पहिलो च-II च (एक्स) = एल.एन. (1 + X) को एक श्रृंखला हो। यस हामी च (एक्स) = एल.एन. (1 + X) Maclaurin श्रृंखला को सामान्य फारम प्रयोग गरेर, संख्या जोडेको गर्न सकिन्छ लागि अघिल्लो उदाहरणहरू मा। तर Maclaurin यो सुविधाको लागि धेरै सजिलो प्राप्त गर्न सकिन्छ। एक ज्यामितीय श्रृंखला एकीकृत, हामी च (एक्स) को लागि एक नम्बर प्राप्त = एल.एन. (1 + X) नमूनाको:

2. अनि दोस्रो, यस लेखमा अन्तिम हुनेछ, च (एक्स) = arctg x को लागि एक श्रृंखला हुनेछ। को अन्तराल स्वामित्वको x को लागि [-1; 1] छ मान्य अपघटन:

सबै छ। यस लेखमा म विशेष आर्थिक र प्राविधिक कलेजहरु मा, उच्च गणित सबैभन्दा प्रयोग टेलर श्रृंखला र Maclaurin श्रृंखला सर्वेक्षण गरेका छन्।